Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{10}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{1 + e^{- x}}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ comme ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$10 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + e^{- x}$ .

$10 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$10 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + e^{- x}$ .

$10 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{- x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 1.3.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 10$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Étape 1.5.4

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Réorganisez les facteurs de $10 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$10 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Étape 1.6.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Étape 1.6.3

Multipliez $10 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

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Étape 1.6.3.1

Associez $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ et $10$ .

$\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Étape 1.6.3.2

Associez $\frac{10}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ et $e^{- x}$ .

$\frac{10 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Étape 1.7

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$\frac{10 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Étape 1.8

Simplifiez

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Étape 1.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{10 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Étape 1.8.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Étape 1.8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Étape 1.8.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.8.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{10 \cdot 1}{2^{2}}$

Étape 1.8.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{10 \cdot 1}{4}$

Étape 1.8.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.8.3.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{10}{4}$

Étape 1.8.3.2

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 1.8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\frac{2 (5)}{4}$

Étape 1.8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.8.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 1.8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Étape 1.8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{5}{2}$ et un point donné, tel que $(0, 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = \frac{5}{2} \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{5}{2} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 5 = \frac{5}{2} \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $x$ .

$y - 5 = \frac{5 x}{2}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{5 x}{2} + 5$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{5}{2} x + 5$

Étape 3