Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ at $x = \frac{π}{4}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{π}{4}$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $- 3 \cos (\frac{π}{4}) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{- 3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - 2 + \frac{- 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 1.2.2.2.2

Additionnez $- 3 \sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$y = - 2 + \frac{0}{2} + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 1.2.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.2.2.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$y = - 2 + 0 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 1.2.2.2.3.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ et $y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 \cos (x) - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2} π}{8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{2}}{2}]$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0 + 0$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $3 \sin (x)$ et $0$ .

$3 \sin (x) + 0 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $3 \sin (x)$ et $0$ .

$3 \sin (x) + 0$

Étape 2.4.3

Additionnez $3 \sin (x)$ et $0$ .

$3 \sin (x)$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{4}$ .

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.6.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{4}, - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ et $x$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{π}{4})$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{π}{4}$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y + 2 - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2$

Étape 3.3.2.2

Ajoutez $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} π}{8} - 2 + \frac{3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 3 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $- 3 \sqrt{2} π$ et $3 \sqrt{2} π$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$

Étape 3.3.2.5

Associez les termes opposés dans $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{0}{8}$ .

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Étape 3.3.2.5.1

Divisez $0$ par $8$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + 0$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ et $0$ .

$y = - 2 + \frac{3 \sqrt{2} x}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez dans l’ordre $- 2$ et $\frac{3 \sqrt{2} x}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - 2$

Étape 3.3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - 2$

Étape 4