Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{6 x}{x + 3}$ at $(- 1, - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{x + 3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 3$ .

$6 \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x + 3$ par $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$6 \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$6 \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$6 \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Associez $6$ et $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.3.6.6

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{18}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$\frac{18}{{((- 1) + 3)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{18}{2^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{18}{4}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $18$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{2 (9)}{4}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{9}{2}$ et un point donné, tel que $(- 1, - 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = \frac{9}{2} \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{9}{2} \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 3 = 0 + 0 + \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 3 = \frac{9}{2} \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 3 = \frac{9}{2} x + \frac{9}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{9}{2}$ et $x$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} \cdot 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{9}{2}$ par $1$ .

$y + 3 = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{9 - 6}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $6$ de $9$ .

$y = \frac{9 x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{9}{2} x + \frac{3}{2}$

Étape 3