Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{x^{2} + 4}$ at $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = \sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt[3]{{(2)}^{2} + 4}$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt[3]{4 + 4}$

Étape 1.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$y = \sqrt[3]{8}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{2^{3}}$

Étape 1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$y = 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.7.3

Placez ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [4])$

Étape 2.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + 0)$

Étape 2.11

Associez les fractions.

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Étape 2.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} (2 x)$

Étape 2.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} x$

Étape 2.11.3

Associez $\frac{2}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.12

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{2 (2)}{3 {({(2)}^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13

Simplifiez

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Étape 2.13.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3 {(2^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.13.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{3 {(4 + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{4}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.2.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{4}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.13.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 2.13.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.13.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Étape 2.13.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3 \cdot 2^{2}}$

Étape 2.13.2.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{3 \cdot 4}$

Étape 2.13.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.13.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{4}{12}$

Étape 2.13.3.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $12$ .

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Étape 2.13.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 (1)}{12}$

Étape 2.13.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.3.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.13.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Étape 2.13.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Étape 3.3.1.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Étape 3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Étape 4