Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 5$ et $y = \frac{1}{6}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x - 1}$ comme ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.2

Multipliez ${(x - 1)}^{- 2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.6.2

Multipliez ${(x - 1)}^{- 2}$ par $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.4.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Étape 1.4.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.8.1

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Étape 1.4.8.2

Additionnez ${(x - 1)}^{- 2}$ et $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Étape 1.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Étape 1.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.1

Soustrayez $1$ de $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Étape 1.7.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{36}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{36}$ et un point donné, tel que $(- 5, \frac{1}{6})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{36}$ et $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{36}$ et $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{1}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $36$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $6$ par $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Étape 2.3.2.5

Additionnez $5$ et $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Étape 3