Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Étape 1.2.3

Simplifiez $({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ .

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Étape 1.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $4$ et $7$ .

$y = 11 (5 (2) + 4)$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$y = 11 (10 + 4)$

Étape 1.2.3.4

Additionnez $10$ et $4$ .

$y = 11 \cdot 14$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $11$ par $14$ .

$y = 154$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 154$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 7$ et $g (x) = 5 x + 4$ .

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $x^{2} + 7$ .

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Étape 2.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 2.2.9

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

Étape 2.2.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.10.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

Étape 2.2.10.2

Déplacez $2$ à gauche de $5 x + 4$ .

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4

Associez des termes.

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $5$ par $7$ .

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

Étape 2.3.4.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

Étape 2.3.4.8

Additionnez $5 x^{2}$ et $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $15$ par $4$ .

$60 + 8 (2) + 35$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $8$ par $2$ .

$60 + 16 + 35$

Étape 2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.5.2.1

Additionnez $60$ et $16$ .

$76 + 35$

Étape 2.5.2.2

Additionnez $76$ et $35$ .

$111$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $111$ et un point donné, tel que $(2, 154)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $111 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $111$ par $- 2$ .

$y - 154 = 111 x - 222$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $154$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 111 x - 222 + 154$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 222$ et $154$ .

$y = 111 x - 68$

Étape 4