Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ et $y = \frac{π}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $x^{\sin (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Étape 1.1.2

Développez $\ln (x^{\sin (x)})$ en déplaçant $\sin (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Étape 1.7.2

Associez $e^{\sin (x) \ln (x)}$ et $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Étape 1.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Étape 1.8

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.2

Simplifiez $1 \ln (\frac{π}{2})$ en déplaçant $1$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.4

Simplifiez

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.6

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.7

Multipliez $0$ par $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 1.9.1.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.10

Simplifiez $1 \ln (\frac{π}{2})$ en déplaçant $1$ dans le logarithme.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.11

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.12

Simplifiez

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.13

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.14

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.15

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 1.9.1.15.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Étape 1.9.1.15.2

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 1.9.1.16

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.9.1.16.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Étape 1.9.1.16.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 1$

Étape 1.9.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $x - \frac{π}{2}$ par $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- \frac{π}{2}$ et $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = x$

Étape 3