Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{3}$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 {(3 - (1))}^{3}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez ${(3 - (1))}^{3}$ par $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{3}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{3}$

Étape 1.2.3.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$y = 2^{3}$

Étape 1.2.3.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = {(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{3}] + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 3 - x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - x$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \cdot 1) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} (4 x^{3})$

Étape 2.3.9

Déplacez $4$ à gauche de ${(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 \cdot {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Factorisez $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ à partir de $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ à partir de $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2})$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ à partir de $4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ à partir de $x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.3

Réécrivez ${(3 - x)}^{2}$ comme $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{3} ((3 - x) (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.4

Développez $(3 - x) (3 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (3 (3 - x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.5.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$x^{3} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{3} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.5.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.5.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{3} (9 - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{3} \cdot 9 + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.7

Simplifiez

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Étape 2.4.7.1

Déplacez $9$ à gauche de $x^{3}$ .

$(9 \cdot x^{3} + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.7.3

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.7.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3 + 2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.7.3.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.8

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.8.1

Déplacez $x$ .

$(9 x^{3} - 6 (x \cdot x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.8.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.4.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(9 x^{3} - 6 (x^{1} x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(9 x^{3} - 6 x^{1 + 3} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.8.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Étape 2.4.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 \cdot 3 + 4 (- x))$

Étape 2.4.9.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 + 4 (- x))$

Étape 2.4.9.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 - 4 x)$

Étape 2.4.10

Soustrayez $4 x$ de $- 3 x$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$

Étape 2.4.11

Développez $(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$9 x^{3} (- 7 x) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$9 \cdot - 7 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.12.2.1

Déplacez $x$ .

$9 \cdot - 7 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.2.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.4.12.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$9 \cdot - 7 (x^{1} x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 \cdot - 7 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.2.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$9 \cdot - 7 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.3

Multipliez $9$ par $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.4

Multipliez $12$ par $9$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{4} x - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.6

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.12.6.1

Déplacez $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.6.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.4.12.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{1 + 4} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.6.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.7

Multipliez $- 6$ par $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.8

Multipliez $12$ par $- 6$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{5} x + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.10

Multipliez $x^{5}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.12.10.1

Déplacez $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.10.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 2.4.12.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.10.3

Additionnez $1$ et $5$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + x^{5} \cdot 12$

Étape 2.4.12.11

Déplacez $12$ à gauche de $x^{5}$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Étape 2.4.13

Soustrayez $72 x^{4}$ de $- 63 x^{4}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Étape 2.4.14

Additionnez $42 x^{5}$ et $12 x^{5}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} - 7 x^{6} + 54 x^{5}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- 135 {(1)}^{4} + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 135 \cdot 1 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 135$ par $1$ .

$- 135 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 135 + 108 \cdot 1 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6.1.4

Multipliez $108$ par $1$ .

$- 135 + 108 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 135 + 108 - 7 \cdot 1 + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6.1.6

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54 {(1)}^{5}$

Étape 2.6.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 135 + 108 - 7 + 54 \cdot 1$

Étape 2.6.1.8

Multipliez $54$ par $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54$

Étape 2.6.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.6.2.1

Additionnez $- 135$ et $108$ .

$- 27 - 7 + 54$

Étape 2.6.2.2

Soustrayez $7$ de $- 27$ .

$- 34 + 54$

Étape 2.6.2.3

Additionnez $- 34$ et $54$ .

$20$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $20$ et un point donné, tel que $(1, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 20 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $20 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = 20 x + 20 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$y - 8 = 20 x - 20$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 20 x - 20 + 8$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 20$ et $8$ .

$y = 20 x - 12$

Étape 4