Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(- 2, - \frac{1}{16})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 2$ et $y = - \frac{1}{16}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Étape 1.4.2

Associez $\frac{- 3}{2}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Étape 1.4.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 2$ .

$- \frac{3}{2 {(- 2)}^{4}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$- \frac{3}{2 \cdot 16}$

Étape 1.6.2

Multipliez $2$ par $16$ .

$- \frac{3}{32}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{32}$ et un point donné, tel que $(- 2, - \frac{1}{16})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{16}) = - \frac{3}{32} \cdot (x - (- 2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{1}{16} = 0 + 0 - \frac{3}{32} \cdot (x + 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} x - \frac{3}{32} \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{3}{32}$ .

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} - \frac{3}{32} \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{32}$ dans le numérateur.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{32} \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 (16)} \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot 2$

Étape 2.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{16}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3 \cdot x}{32} + \frac{- 3}{16}$

Étape 2.3.1.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + \frac{1}{16} = - \frac{3 x}{32} - \frac{3}{16}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{16}$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{32} - \frac{3}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{- 3 - 1}{16}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $1$ de $- 3$ .

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{- 4}{16}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{- 4}{16}$

Étape 2.3.2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $16$ .

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Étape 2.3.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 (- 1)}{16}$

Étape 2.3.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.4.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Étape 2.3.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{- 1}{4}$

Étape 2.3.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 x}{32} - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{32} x) - \frac{1}{4}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{32} x - \frac{1}{4}$

Étape 3