Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y^{2}$ et $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.9

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.2.10

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Étape 1.2.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Étape 1.2.5.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Étape 1.3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Étape 1.5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.2.1

Soustrayez $2 y^{2} e^{2 x}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Étape 1.5.2.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Étape 1.5.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ par $2 (y e^{2 x} - 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ par $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $y e^{2 x} - 2$ .

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Étape 1.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Étape 1.5.4.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.5.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.5.4.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.5.4.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.5.4.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.5.4.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.4.3.2.5.1

Réécrivez $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ comme $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.5.4.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 0$ sur $y = 4$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Réécrivez $4^{2} e^{2 (0)}$ comme ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 4 e^{0}$ et $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.4

Simplifiez

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Étape 1.7.3.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.4.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.4.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.4.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.3.4.6

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Étape 1.7.4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Étape 1.7.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Étape 1.7.4.4

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Étape 1.7.5.2

Divisez $16$ par $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Étape 1.7.5.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 8$ et un point donné, tel que $(0, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 8 x + 4$

Étape 3