Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{2 x}$ at $(32, 8)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 32$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.10

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.11.1

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 1.11.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.12.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13

Évaluez la dérivée sur $x = 32$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14

Simplifiez

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Étape 1.14.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.14.1.1

Réécrivez $32$ comme $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.14.1.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.14.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.14.1.2.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Étape 1.14.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

Étape 1.14.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

Étape 1.14.1.5

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

Étape 1.14.1.6

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 1.14.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

Étape 1.14.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.14.1.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

Étape 1.14.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

Étape 1.14.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

Étape 1.14.1.6.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2^{3}}$

Étape 1.14.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{8}$ et un point donné, tel que $(32, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{8}$ et $x$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $- 32$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

Étape 2.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

Étape 2.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 4$ et $8$ .

$y = \frac{x}{8} + 4$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{8} x + 4$

Étape 3