Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{12 x}{x^{2} - 4}$ ; $(4, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{12 x}{x^{2} - 4}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{2} - 4$ par $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$12 \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $12$ et $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{12 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $12$ par $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{2} - 48}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{- 12 {(4)}^{2} - 48}{{({(4)}^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 12 \cdot 16 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $- 12$ par $16$ .

$\frac{- 192 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.12.1.3

Soustrayez $48$ de $- 192$ .

$\frac{- 240}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Étape 1.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.12.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 240}{{(16 - 4)}^{2}}$

Étape 1.12.2.2

Soustrayez $4$ de $16$ .

$\frac{- 240}{12^{2}}$

Étape 1.12.2.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 240}{144}$

Étape 1.12.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.12.3.1

Annulez le facteur commun à $- 240$ et $144$ .

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Étape 1.12.3.1.1

Factorisez $48$ à partir de $- 240$ .

$\frac{48 (- 5)}{144}$

Étape 1.12.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.12.3.1.2.1

Factorisez $48$ à partir de $144$ .

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

Étape 1.12.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

Étape 1.12.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{3}$

Étape 1.12.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{5}{3}$ et un point donné, tel que $(4, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $4$ et $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y - 4 = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 12}{3}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $20$ et $12$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{32}{3}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{32}{3}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{32}{3}$

Étape 3