Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{e^{8 x}}{x}$ , $(\frac{1}{8}, 8 e)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{1}{8}$ et $y = 8 e$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = e^{8 x}$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{8 x}] - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 8 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$\frac{x (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (e^{8 x} (8 \cdot 1)) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{x (e^{8 x} \cdot 8) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $e^{8 x}$ .

$\frac{x (8 \cdot e^{8 x}) - e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x (8 e^{8 x}) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x e^{8 x} - e^{8 x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{8 e^{8 x} x - e^{8 x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $8 e^{8 x} x - e^{8 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $8 e^{8 x} x$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) - e^{8 x}}{x^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $- e^{8 x}$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4.3.3

Factorisez $e^{8 x}$ à partir de $e^{8 x} (8 x) + e^{8 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{8 x} (8 x - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{1}{8}$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (8 (\frac{1}{8}) - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6.1.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{8 (\frac{1}{8})} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6.1.4

Simplifiez

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{8})}^{2}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{8}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{8^{2}}}$

Étape 1.6.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{8^{2}}}$

Étape 1.6.2.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{64}}$

Étape 1.6.3

Multipliez $e$ par $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{64}}$

Étape 1.6.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$0 \cdot 64$

Étape 1.6.5

Multipliez $0$ par $64$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(\frac{1}{8}, 8 e)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{8}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{8})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x - \frac{1}{8}$ .

$y - 8 e = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $8 e$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 8 e$

Étape 3