Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + y^{3} = 5 y + 3 x$ , $(2, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (5 y + 3 x)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 3 y^{2} y'$

Étape 1.2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y^{2} y' + 4 x$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 y + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y' + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 y' + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 y' + 3 \cdot 1$

Étape 1.3.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$5 y' + 3$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 y^{2} y' + 4 x = 5 y' + 3$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $5 y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' + 4 x - 5 y' = 3$

Étape 1.5.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 5 y' = 3 - 4 x$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 5 y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 5 y' = 3 - 4 x$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5 = 3 - 4 x$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' \cdot - 5$ .

$y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ par $3 y^{2} - 5$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 5) = 3 - 4 x$ par $3 y^{2} - 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 5$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 5)}{3 y^{2} - 5} = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} + \frac{- 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{3}{3 y^{2} - 5} - \frac{4 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{3 - 4 \cdot 2}{3 {(2)}^{2} - 5}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{3 - 8}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Étape 1.7.3.2

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 2^{2} - 5}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 5}{3 \cdot 4 - 5}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{- 5}{12 - 5}$

Étape 1.7.4.3

Soustrayez $5$ de $12$ .

$\frac{- 5}{7}$

Étape 1.7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{7}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{5}{7}$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - \frac{5}{7} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - \frac{5}{7} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - \frac{5}{7} x - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} - \frac{5}{7} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{5}{7} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + 2 (\frac{5}{7})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $2$ et $\frac{5}{7}$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{2 \cdot 5}{7}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$y - 2 = - \frac{x \cdot 5}{7} + \frac{10}{7}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y - 2 = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 2 \cdot 7}{7}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{10 + 14}{7}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $10$ et $14$ .

$y = - \frac{5 x}{7} + \frac{24}{7}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{5}{7} x) + \frac{24}{7}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{7} x + \frac{24}{7}$

Étape 3