Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{3}{4} \cdot π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Étape 1.2.2

Simplifiez $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Étape 1.2.2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{3}{4} π$ et $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x))$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$3 \sin (x)$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 2.5.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 2.5.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5.4

Associez $3$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ et un point donné, tel que $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ et $x$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.3.3.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Étape 3.3.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 \sqrt{2} π$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $12 \sqrt{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Étape 3.3.3.8

Réécrivez $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ comme $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Étape 3.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.3.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Étape 4