Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

Étape 1.2.3.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

Étape 1.2.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 8 \cdot 1$

Étape 1.2.3.5

Multipliez $8$ par $1$ .

$y = 8$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 3 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

Étape 2.3.9

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Factorisez $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ à partir de $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Factorisez $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ à partir de $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ à partir de $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ à partir de $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

Étape 2.4.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

Étape 2.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

Étape 2.6.2.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

Étape 2.6.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

Étape 2.6.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.3.1

Additionnez $- 8$ et $3$ .

$4 \cdot - 5$

Étape 2.6.3.2

Multipliez $4$ par $- 5$ .

$- 20$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $- 20$ et un point donné, tel que $(2, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $- 20 \cdot (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 20 x + 40 + 8$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $40$ et $8$ .

$y = - 20 x + 48$

Étape 4