Calcul infinitésimal Exemples

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = - 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.3.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.4.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Étape 1.4.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7.1.2

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7.1.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Étape 1.7.1.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.7.2.1

Écrivez $- 9$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.2.2

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.2.3

Multipliez $\frac{- 9}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.2.4

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.2.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.2.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 1.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 1.7.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Étape 1.7.4.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Soustrayez $4$ de $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Étape 1.7.5.2

Soustrayez $1$ de $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Étape 1.7.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{23}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{23}{2}$ et un point donné, tel que $(1, - 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{23}{2}$ par $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $23$ à gauche de $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $4$ de $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Étape 3