Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

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Étape 1.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Étape 1.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

Étape 1.2.3

Soustrayez $16$ de $25$ .

$y = \sqrt{9}$

Étape 1.2.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 - x^{2}}$ comme ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.7.3

Placez ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.9

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 2.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Étape 2.13

Simplifiez les termes.

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Étape 2.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Étape 2.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 2.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.16

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.1.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.2

Soustrayez $16$ de $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.17.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.17.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.17.5.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.17.5.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{4}{3^{1}}$

Étape 2.17.6

Évaluez l’exposant.

$- \frac{4}{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{4}{3}$ et un point donné, tel que $(4, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

Étape 3.3.1.5.2

Associez $4$ et $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

Étape 3.3.1.5.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

Étape 3.3.1.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

Étape 3.3.2.5.2

Additionnez $16$ et $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

Étape 4