Calcul infinitésimal Exemples

$16 x^{3} + y^{3} = 3$ , $(2, - 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = - 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (16 x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$48 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$48 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$48 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$48 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $48 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ par $3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = - 48 x^{2}$ par $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 48 x^{2}}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 48$ et $3$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 48 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 (y^{2})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 (- 16 x^{2})}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 16 x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.5.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{16 x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = - 5$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $- 5$ dans l’expression.

$- \frac{16 {(2)}^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$- \frac{2^{4} \cdot 2^{2}}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 1.7.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2^{4 + 2}}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 1.7.3.3

Additionnez $4$ et $2$ .

$- \frac{2^{6}}{{(- 5)}^{2}}$

Étape 1.7.4

Évaluez les exposants.

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Étape 1.7.4.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2^{6}}{25}$

Étape 1.7.4.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$- \frac{64}{25}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{64}{25}$ et un point donné, tel que $(2, - 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = - \frac{64}{25} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 5 = 0 + 0 - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 5 = - \frac{64}{25} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 5 = - \frac{64}{25} x - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} - \frac{64}{25} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{64}{25} \cdot - 2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + 2 (\frac{64}{25})$

Étape 2.3.1.5.2

Associez $2$ et $\frac{64}{25}$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{2 \cdot 64}{25}$

Étape 2.3.1.5.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$y + 5 = - \frac{x \cdot 64}{25} + \frac{128}{25}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $64$ à gauche de $x$ .

$y + 5 = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} - 5 \cdot \frac{25}{25}$

Étape 2.3.2.3

Associez $- 5$ et $\frac{25}{25}$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128}{25} + \frac{- 5 \cdot 25}{25}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 5 \cdot 25}{25}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $- 5$ par $25$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{128 - 125}{25}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $125$ de $128$ .

$y = - \frac{64 x}{25} + \frac{3}{25}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{64}{25} x) + \frac{3}{25}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{64}{25} x + \frac{3}{25}$

Étape 3