Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ at the point $(4, - \frac{43}{4})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = - \frac{43}{4}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- 1} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.9

Associez $- 4$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.10

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.11

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.12

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.3.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{- 2} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{1}{{(4)}^{2}} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.6.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.6.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2^{1}}$

Étape 1.6.1.2.4

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Étape 1.6.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{16} - \frac{2}{2}$

Étape 1.6.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot 1$

Étape 1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{16} - 1$

Étape 1.6.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}$

Étape 1.6.3

Associez $- 1$ et $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

Étape 1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 1 \cdot 16}{16}$

Étape 1.6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.5.1

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$\frac{- 1 - 16}{16}$

Étape 1.6.5.2

Soustrayez $16$ de $- 1$ .

$\frac{- 17}{16}$

Étape 1.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{17}{16}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{17}{16}$ et un point donné, tel que $(4, - \frac{43}{4})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{43}{4}) = - \frac{17}{16} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{43}{4} = 0 + 0 - \frac{17}{16} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17}{16} x - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{17}{16}$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} - \frac{17}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{17}{16}$ dans le numérateur.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{16} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 (4)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 17}{4}$ et $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{- 17 \cdot - 1}{4}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 17$ par $- 1$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{x \cdot 17}{16} + \frac{17}{4}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $17$ à gauche de $x$ .

$y + \frac{43}{4} = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $\frac{43}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{17}{4} - \frac{43}{4}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{17 - 43}{4}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $43$ de $17$ .

$y = \frac{- 17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 26}{4}$

Étape 2.3.2.4.2

Annulez le facteur commun à $- 26$ et $4$ .

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Étape 2.3.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 26$ .

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 (- 13)}{4}$

Étape 2.3.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{2 \cdot - 13}{2 \cdot 2}$

Étape 2.3.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{17 x}{16} + \frac{- 13}{2}$

Étape 2.3.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{17 x}{16} - \frac{13}{2}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{17}{16} x) - \frac{13}{2}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{17}{16} x - \frac{13}{2}$

Étape 3