Calcul infinitésimal Exemples

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.7.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.9

Multipliez $e^{- x^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12.1.6

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Étape 1.12.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Étape 1.12.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + e^{0}$

Étape 1.12.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 1$

Étape 1.12.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(0, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $1 \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $x + 0$ par $1$ .

$y = x + 0$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$y = x$

Étape 3