Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 4 x + 1$ at $(2, - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = - 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 4 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $2 x - 4$ et $0$ .

$2 x - 4$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$2 (2) - 4$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 - 4$

Étape 1.5.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(2, - 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 3 = 0 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x - 2$ .

$y + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 3