Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \frac{1}{e}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.5

Réécrivez $- 1 \frac{1}{e}$ comme $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Étape 1.6.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

Étape 1.6.1.9

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

Étape 1.6.1.10

Associez $3$ et $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

Étape 1.6.2

Associez les fractions.

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Étape 1.6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

Étape 1.6.2.2

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$\frac{2}{e}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{2}{e}$ et un point donné, tel que $(1, \frac{1}{e})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1.1

Soustrayez $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ des deux côtés de l’équation.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Étape 2.3.1.2.3

Multipliez $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

Étape 2.3.1.2.3.2

Multipliez $\frac{2}{e}$ par $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Étape 2.3.1.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Étape 2.3.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

Étape 2.3.1.4

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Étape 2.3.1.5

Pour écrire $y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Étape 2.3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

Étape 2.3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y e - 2 x + 1 = 0$

Étape 2.3.3

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.3.3.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.3.1.1

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y e + 1 = 2 x$

Étape 2.3.3.1.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y e = 2 x - 1$

Étape 2.3.3.2

Divisez chaque terme dans $y e = 2 x - 1$ par $e$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $y e = 2 x - 1$ par $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Étape 2.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Étape 2.3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Étape 2.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

Étape 3