Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 x^{3} - x^{2} + 4$ , $(2, 16)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 16$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x^{2} - 2 x + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $6 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$6 x^{2} - 2 x$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$6 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$6 \cdot 4 - 2 \cdot 2$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$24 - 2 \cdot 2$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$24 - 4$

Étape 1.6.2

Soustrayez $4$ de $24$ .

$20$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $20$ et un point donné, tel que $(2, 16)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 20 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 16 = 20 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $20 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 16 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 16 = 20 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 16 = 20 x + 20 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $20$ par $- 2$ .

$y - 16 = 20 x - 40$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 20 x - 40 + 16$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 40$ et $16$ .

$y = 20 x - 24$

Étape 3