Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {({(x - 2)}^{2} - x)}^{2}$ at $x = 3$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {({(3 - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${({((3) - 2)}^{2} - (3))}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$y = {(1^{2} - (3))}^{2}$

Étape 1.2.3.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = {(1 - (3))}^{2}$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = {(1 - 3)}^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y = {(- 2)}^{2}$

Étape 1.2.3.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x - 2)}^{2} - x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x - 2)}^{2} - x$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${(x - 2)}^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 2.4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1 \cdot 1)$

Étape 2.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 ({(x - 2)}^{2} - x) (2 (x - 2) - 1)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 (x - 2) - 1)$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 {(x - 2)}^{2} + 2 (- x)) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Étape 2.5.3

Associez des termes.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x + 2 \cdot - 2 - 1)$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 4 - 1)$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $1$ de $- 4$ .

$(2 {(x - 2)}^{2} - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.1

Réécrivez ${(x - 2)}^{2}$ comme $(x - 2) (x - 2)$ .

$(2 ((x - 2) (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.2

Développez $(x - 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(2 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.3.1.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$(2 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.3.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$(2 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.3.2

Soustrayez $2 x$ de $- 2 x$ .

$(2 (x^{2} - 4 x + 4) - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.5

Simplifiez

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Étape 2.5.4.5.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 4 - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.4.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$(2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x) (2 x - 5)$

Étape 2.5.5

Soustrayez $2 x$ de $- 8 x$ .

$(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$

Étape 2.5.6

Développez $(2 x^{2} - 10 x + 8) (2 x - 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.5.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \cdot 2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 5 - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.4

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 x (2 x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x \cdot x - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.6

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.6.1

Déplacez $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 (x \cdot x) - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 10 \cdot 2 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.7

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} - 10 x \cdot - 5 + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.8

Multipliez $- 5$ par $- 10$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 8 (2 x) + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.9

Multipliez $2$ par $8$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x + 8 \cdot - 5$

Étape 2.5.7.10

Multipliez $8$ par $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} - 20 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Étape 2.5.8

Soustrayez $20 x^{2}$ de $- 10 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 50 x + 16 x - 40$

Étape 2.5.9

Additionnez $50 x$ et $16 x$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 66 x - 40$

Étape 2.6

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$4 {(3)}^{3} - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot 27 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $4$ par $27$ .

$108 - 30 {(3)}^{2} + 66 (3) - 40$

Étape 2.7.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$108 - 30 \cdot 9 + 66 (3) - 40$

Étape 2.7.1.4

Multipliez $- 30$ par $9$ .

$108 - 270 + 66 (3) - 40$

Étape 2.7.1.5

Multipliez $66$ par $3$ .

$108 - 270 + 198 - 40$

Étape 2.7.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.7.2.1

Soustrayez $270$ de $108$ .

$- 162 + 198 - 40$

Étape 2.7.2.2

Additionnez $- 162$ et $198$ .

$36 - 40$

Étape 2.7.2.3

Soustrayez $40$ de $36$ .

$- 4$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 4$ et un point donné, tel que $(3, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 4 \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 4 \cdot (x - 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = - 4 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = - 4 x - 4 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y - 4 = - 4 x + 12$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 4 x + 12 + 4$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $12$ et $4$ .

$y = - 4 x + 16$

Étape 4