Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + 2 x y - y^{2} + x = 2$ , $(1, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 2 x y - y^{2} + x) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 x y - y^{2} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 (x y' + y) - 2 y y' + 1$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x + 2 (x y') + 2 y - 2 y y' + 1$

Étape 1.2.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x + 2 x y' + 2 y - 2 y y' + 1$

Étape 1.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1$

Étape 1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x y' - 2 y y' + 2 x + 2 y + 1 = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' - 2 y y' + 2 y + 1 = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' - 2 y y' + 1 = - 2 x - 2 y$

Étape 1.5.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x y' - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y' - 2 y y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 x y'$ .

$2 y' x - 2 y y' = - 2 x - 2 y - 1$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$2 y' x + 2 y' (- y) = - 2 x - 2 y - 1$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x + 2 y' (- y)$ .

$2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ par $2 (x - y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (x - y) = - 2 x - 2 y - 1$ par $2 (x - y)$ .

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (x - y)}{2 (x - y)} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x - y$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (x - y)} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- 2 y}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{2 (- y)}{2 (x - y)} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{x - y} + \frac{- y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} + \frac{- 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{x - y} - \frac{y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x - y}{x - y} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.3

Pour écrire $\frac{- x - y}{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- x - y}{x - y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - y) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.5.3.3.4.1

Multipliez $\frac{- x - y}{x - y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{(x - y) \cdot 2} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2}{2 (x - y)} - \frac{1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{(- x - y) \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{- x \cdot 2 - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - y \cdot 2 - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' = \frac{- 2 x - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.3.3.7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 2 y - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y) - 1 (1)}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x + 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{- (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.7.6.1

Réécrivez $- (2 x + 2 y + 1)$ comme $- 1 (2 x + 2 y + 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + 2 y + 1)}{2 (x - y)}$

Étape 1.5.3.3.7.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + 2 y + 1}{2 (x - y)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{2 (1) + 2 y + 1}{2 ((1) - y)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$- \frac{2 (1) + 2 (2) + 1}{2 ((1) - (2))}$

Étape 1.7.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{2 + 2 (2) + 1}{2 (1 - (2))}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{2 + 4 + 1}{2 (1 - (2))}$

Étape 1.7.3.3

Additionnez $2$ et $4$ .

$- \frac{6 + 1}{2 (1 - (2))}$

Étape 1.7.3.4

Additionnez $6$ et $1$ .

$- \frac{7}{2 (1 - (2))}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{7}{2 (1 - 2)}$

Étape 1.7.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{7}{2 \cdot - 1}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{7}{- 2}$

Étape 1.7.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{7}{2}$

Étape 1.7.6

Multipliez $- - \frac{7}{2}$ .

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Étape 1.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{7}{2})$

Étape 1.7.6.2

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $1$ .

$\frac{7}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{7}{2}$ et un point donné, tel que $(1, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{7}{2} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{7}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = \frac{7}{2} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = \frac{7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{7}{2}$ et $x$ .

$y - 2 = \frac{7 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $- 1$ .

$y - 2 = \frac{7 x}{2} + \frac{7 \cdot - 1}{2}$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$y - 2 = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 7 + 4}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 7$ et $4$ .

$y = \frac{7 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

Étape 2.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{7 x}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{7}{2} x - \frac{3}{2}$

Étape 3