Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln^{5} (x)$ at $x = 3$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = \ln ({(3)}^{5})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (3^{5})$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln ({(3)}^{5})$

Étape 1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$y = \ln (243)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = \ln (243)$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x)}^{5}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme ${(x)}^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{5}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(x)}^{5}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} (5 x^{4})$

Étape 2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{5}{x^{5}} x^{4}$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{5}{x^{5}}$ et $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{x^{5}}$

Étape 2.2.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{5}$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $5 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{5}}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.3.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Étape 2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} \cdot 5}{x^{4} x}$

Étape 2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{x}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$\frac{5}{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{5}{3}$ et un point donné, tel que $(3, \ln (243))$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (243)) = \frac{5}{3} \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \ln (243) = \frac{5}{3} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{5}{3} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \ln (243) = 0 + 0 + \frac{5}{3} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \ln (243) = \frac{5}{3} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \ln (243) = \frac{5}{3} x + \frac{5}{3} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{5}{3}$ et $x$ .

$y - \ln (243) = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - \ln (243) = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 (- 1))$

Étape 3.3.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$y - \ln (243) = \frac{5 x}{3} + \frac{5}{3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$y - \ln (243) = \frac{5 x}{3} + 5 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$y - \ln (243) = \frac{5 x}{3} - 5$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\ln (243)$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{5 x}{3} - 5 + \ln (243)$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{5}{3} x - 5 + \ln (243)$

Étape 4