Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = π$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 + \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.4

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.5

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.9

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.9.2

Multipliez $1 + \sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.2.1.1

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.1.2

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.10.2.1.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.1.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.1.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.2

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.3

Réorganisez les termes.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.10.2.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Étape 1.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Étape 1.12.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Étape 1.12.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Étape 1.12.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Étape 1.12.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2.4

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 1.12.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.12.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1}$

Étape 1.12.3.2

Réécrivez l’expression.

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(π, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $x - π$ par $1$ .

$y + 1 = x - π$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x - π - 1$

Étape 3