Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 64$ et $y = 16$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x = 3 y^{2} y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’équation comme $3 y^{2} y' = 2 x$ .

$3 y^{2} y' = 2 x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = 2 x$ par $3 y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' = 2 x$ par $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 64$ sur $y = 16$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $64$ dans l’expression.

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $16$ dans l’expression.

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

Étape 1.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.3.1

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

Étape 1.7.3.2

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

Étape 1.7.3.3

Multipliez $3$ par $256$ .

$\frac{128}{768}$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun à $128$ et $768$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $128$ à partir de $128$ .

$\frac{128 (1)}{768}$

Étape 1.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.2.1

Factorisez $128$ à partir de $768$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Étape 1.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Étape 1.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{6}$ et un point donné, tel que $(64, 16)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 64$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 32$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $16$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $16$ par $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 32$ et $48$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

Étape 3