Calcul infinitésimal Exemples

$y = 10 x \sin (x)$ , $(\frac{π}{2}, 5 π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ et $y = 5 π$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$10 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$10 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Étape 1.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$10 (x \cos (x) + \sin (x))$

Étape 1.5

Appliquez la propriété distributive.

$10 x \cos (x) + 10 \sin (x)$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{2}$ .

$10 (\frac{π}{2}) \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.7.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$5 π \cos (\frac{π}{2}) + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$5 π \cdot 0 + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $5 π \cdot 0$ .

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Étape 1.7.1.3.1

Multipliez $0$ par $5$ .

$0 π + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.3.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$0 + 10 \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.7.1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $10$ par $1$ .

$0 + 10$

Étape 1.7.2

Additionnez $0$ et $10$ .

$10$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $10$ et un point donné, tel que $(\frac{π}{2}, 5 π)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5 π) = 10 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 π = 10 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $10 \cdot (x - \frac{π}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 π = 0 + 0 + 10 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 π = 10 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 π = 10 x + 10 (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$y - 5 π = 10 x + 10 \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y - 5 π = 10 x + 2 (5) \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y - 5 π = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{- π}{2}$

Étape 2.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y - 5 π = 10 x + 5 (- π)$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y - 5 π = 10 x - 5 π$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $5 π$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 10 x - 5 π + 5 π$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $10 x - 5 π + 5 π$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- 5 π$ et $5 π$ .

$y = 10 x + 0$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$y = 10 x$

Étape 3