Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ , $(4, 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 9$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Réécrivez le côté gauche avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \sqrt{y} = 5$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}} = 5$

Étape 1.2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5)$

Étape 1.3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y'$

Étape 1.3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y'$

Étape 1.3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y'$

Étape 1.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y'$

Étape 1.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y'$

Étape 1.3.3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y'$

Étape 1.3.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y'$

Étape 1.3.3.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y'$

Étape 1.3.3.9

Associez $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $y'$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2}$

Étape 1.3.3.10

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.4

Simplifiez

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Étape 1.3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 1.6

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.6.1

Soustrayez $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.2

Multipliez les deux côtés par $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3

Simplifiez

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Étape 1.6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.6.3.1.1

Simplifiez $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 1.6.3.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.1.1.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.6.3.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.3.2.1

Simplifiez $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 1.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.3.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ dans le numérateur.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.2.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.2.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} (2 (y^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1.6.3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.6.3.2.1.1.5

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.6.3.2.1.2

Associez $\frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ et $y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.3.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8

Évaluez sur $x = 4$ sur $y = 9$ .

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Étape 1.8.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{y^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.2

Remplacez la variable $y$ par $9$ dans l’expression.

$- \frac{{(9)}^{\frac{1}{2}}}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.3.4

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3}{4^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.8.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.8.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.8.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.8.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.8.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{3}{2^{1}}$

Étape 1.8.4.4

Évaluez l’exposant.

$- \frac{3}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{2}$ et un point donné, tel que $(4, 9)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 9 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 9 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 9 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Étape 2.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$y - 9 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - 9 = - \frac{3 x}{2} + 6$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{2} + 6 + 9$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $6$ et $9$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 15$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 15$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} x + 15$

Étape 3