Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez ${(3 - (1))}^{2}$ par $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Étape 1.2.3.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$y = 2^{2}$

Étape 1.2.3.5

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 4$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(3 - x)}^{2}$ comme $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Étape 2.2

Développez $(3 - x) (3 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Étape 2.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - 6 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.6

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Étape 2.5.9

Déplacez $4$ à gauche de $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4

Associez des termes.

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Étape 2.6.4.1

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.2.1

Déplacez $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.6.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.4

Multipliez $4$ par $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.5

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.6

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.6.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.6.4.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Étape 2.6.4.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.4.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Étape 2.6.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Étape 2.6.4.7.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Étape 2.6.4.8

Soustrayez $24 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Étape 2.6.4.9

Additionnez $2 x^{5}$ et $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Étape 2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Étape 2.7

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Étape 2.8.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Étape 2.8.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Étape 2.8.1.4

Multipliez $- 30$ par $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Étape 2.8.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Étape 2.8.1.6

Multipliez $36$ par $1$ .

$6 - 30 + 36$

Étape 2.8.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.8.2.1

Soustrayez $30$ de $6$ .

$- 24 + 36$

Étape 2.8.2.2

Additionnez $- 24$ et $36$ .

$12$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $12$ et un point donné, tel que $(1, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $12 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 12 x - 12 + 4$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 12$ et $4$ .

$y = 12 x - 8$

Étape 4