Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{3 x}{x + 1}$ at $(2, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{x + 1}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$3 \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$3 \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.5

Associez $3$ et $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{3}{{((2) + 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{3}{3^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{9}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $9$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{9}$

Étape 1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Étape 1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{3} \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = \frac{1}{3} \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 2$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$y - 2 = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 2 = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.2.3

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2 + 6}{3}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 2$ et $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Étape 3