Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ at $x = - \frac{π}{4}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - \frac{π}{4}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- \frac{π}{4}$ .

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2.2

Simplifiez $- 5 \cot (- \frac{π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$ .

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Étape 1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.2.1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$y = - 5 \cot (\frac{7 π}{4}) - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$y = - 5 (- \cot (\frac{π}{4})) - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2.2.1.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$y = - 5 (- 1 \cdot 1) - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2.2.1.4

Multipliez $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 1.2.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = - 5 \cdot - 1 - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2.2.1.4.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$y = 5 - \frac{5 π}{2} - 4$

Étape 1.2.2.2

Soustrayez $4$ de $5$ .

$y = 1 - \frac{5 π}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - \frac{π}{4}$ et $y = 1 - \frac{5 π}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 5 \cot (x) - \frac{5 π}{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 \cot (x)$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$5 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{5 π}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- \frac{5 π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5 π}{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3.2

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0 + 0$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $5 \csc^{2} (x)$ et $0$ .

$5 \csc^{2} (x) + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $5 \csc^{2} (x)$ et $0$ .

$5 \csc^{2} (x)$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = - \frac{π}{4}$ .

$5 \csc^{2} (- \frac{π}{4})$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$5 \csc^{2} (\frac{7 π}{4})$

Étape 2.6.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$5 {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2}$

Étape 2.6.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{4})$ est $\sqrt{2}$ .

$5 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$5 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 2.6.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$5 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Étape 2.6.4.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$5 {\sqrt{2}}^{2}$

Étape 2.6.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.6.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 2.6.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 2.6.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.6.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Étape 2.6.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot 2^{1}$

Étape 2.6.5.5

Évaluez l’exposant.

$5 \cdot 2$

Étape 2.6.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$10$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $10$ et un point donné, tel que $(- \frac{π}{4}, 1 - \frac{5 π}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1 - \frac{5 π}{2}) = 10 \cdot (x - (- \frac{π}{4}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $10 \cdot (x + \frac{π}{4})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 0 + 0 + 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 \cdot (x + \frac{π}{4})$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 10 \frac{π}{4}$

Étape 3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 (5) \frac{π}{4}$

Étape 3.3.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 2 \cdot 5 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + 5 \frac{π}{2}$

Étape 3.3.1.5

Associez $5$ et $\frac{π}{2}$ .

$y - 1 + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y + \frac{5 π}{2} = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $\frac{5 π}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = 10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$

Étape 3.3.2.3

Associez les termes opposés dans $10 x + \frac{5 π}{2} + 1 - \frac{5 π}{2}$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 10 x + \frac{5 π - 5 π}{2} + 1$

Étape 3.3.2.3.2

Soustrayez $5 π$ de $5 π$ .

$y = 10 x + \frac{0}{2} + 1$

Étape 3.3.2.4

Divisez $0$ par $2$ .

$y = 10 x + 0 + 1$

Étape 3.3.2.5

Additionnez $10 x$ et $0$ .

$y = 10 x + 1$

Étape 4