Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- 8 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(- 1, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 x}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.1.2

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{8 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 8 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $- 8$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{8 (- x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.11.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- \frac{- 8 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.11.2.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$- \frac{- 8 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- \frac{- 8 {(- 1)}^{2} + 8}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{- 8 \cdot 1 + 8}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.13.1.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$- \frac{- 8 + 8}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.13.1.3

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$- \frac{0}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.13.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.13.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{0}{2^{2}}$

Étape 1.13.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{0}{4}$

Étape 1.13.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.13.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$- 0$

Étape 1.13.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(- 1, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 0 \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = 0 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x + 1$ .

$y - 4 = 0$

Étape 2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 4$

Étape 3