Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln^{4} (x)$ at $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = \ln ({(2)}^{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (2^{4})$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln ({(2)}^{4})$

Étape 1.2.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$y = \ln (16)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \ln (16)$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x)}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme ${(x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par ${(x)}^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Étape 2.2.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{4}{x^{4}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Étape 2.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.3.2.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Étape 2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Étape 2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{4}{2}$

Étape 2.4

Divisez $4$ par $2$ .

$2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(2, \ln (16))$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (16)) = 2 \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \ln (16) = 2 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \ln (16) = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \ln (16) = 2 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \ln (16) = 2 x + 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y - \ln (16) = 2 x - 4$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\ln (16)$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 4 + \ln (16)$

Étape 4