Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \arcsin (x)$ , $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ et $y = \frac{π}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\arcsin (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 1.3

Associez $3$ et $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{2})}^{2}}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}}}$

Étape 1.5.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{2^{2}}}}$

Étape 1.5.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{\sqrt{1 - \frac{1}{4}}}$

Étape 1.5.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}}$

Étape 1.5.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{\sqrt{\frac{4 - 1}{4}}}$

Étape 1.5.1.6

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$

Étape 1.5.1.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}$

Étape 1.5.1.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Étape 1.5.1.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 1.5.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 \frac{2}{\sqrt{3}}$

Étape 1.5.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Étape 1.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 1.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 1.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 1.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 1.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 1.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 1.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 1.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Étape 1.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $2 \sqrt{3}$ et un point donné, tel que $(\frac{1}{2}, \frac{π}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 2 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{π}{2} = 0 + 0 + 2 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 (\sqrt{3}) \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - 1 \cdot \sqrt{3}$

Étape 2.3.1.3.2

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$y - \frac{π}{2} = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3}$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\frac{π}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 + π}{2}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 2 \sqrt{3} + π}{2}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \sqrt{3}$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) + π}{2}$

Étape 2.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $π$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)}{2}$

Étape 2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \sqrt{3}) - 1 (- π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Étape 2.3.3.8

Réécrivez $- (2 \sqrt{3} - π)$ comme $- 1 (2 \sqrt{3} - π)$ .

$y = 2 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 \sqrt{3} - π)}{2}$

Étape 2.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 2 \sqrt{3} x - \frac{2 \sqrt{3} - π}{2}$

Étape 3