Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (x) - 6 \cos (x)$ , $P = (\frac{π}{3}, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) - 6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) - 6 (- \sin (x))$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\sec (x) \tan (x) + 6 \sin (x)$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{π}{3}$ .

$\sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{3})$ est $2$ .

$2 \tan (\frac{π}{3}) + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.5.1.2

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \sin (\frac{π}{3})$

Étape 1.5.1.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \sqrt{3} + 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 \sqrt{3} + 2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1.5.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Étape 1.5.2

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $3 \sqrt{3}$ .

$5 \sqrt{3}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $5 \sqrt{3}$ et un point donné, tel que $P = (\frac{π}{3}, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 5 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 1 = 0 + 0 + 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + 5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $5 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$ .

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Étape 2.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - 5 \sqrt{3} \frac{π}{3}$

Étape 2.3.1.4.2

Associez $\frac{π}{3}$ et $- 5$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5}{3} \sqrt{3}$

Étape 2.3.1.4.3

Associez $\frac{π \cdot - 5}{3}$ et $\sqrt{3}$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{π \cdot - 5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.5.1

Déplacez $- 5$ à gauche de $π$ .

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 \cdot π \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.1.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + 1 = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.3.3.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}$

Étape 2.3.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 5 π \sqrt{3} - 3}{3}$

Étape 2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 π \sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 3}{3}$

Étape 2.3.3.6

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)}{3}$

Étape 2.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (5 π \sqrt{3}) - 1 (3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Étape 2.3.3.8

Réécrivez $- (5 π \sqrt{3} + 3)$ comme $- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)$ .

$y = 5 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (5 π \sqrt{3} + 3)}{3}$

Étape 2.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = 5 \sqrt{3} x - \frac{5 π \sqrt{3} + 3}{3}$

Étape 3