Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 16 x}{4 x - x^{3}}$ at $x = 4$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{4^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - 4^{3}}$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{4 (4) - {(4)}^{3}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun à ${(4)}^{2} - 16 \cdot 4$ et $4 (4) - {(4)}^{3}$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{{(4)}^{2} - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $4$ à partir de ${(4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \cdot 4 - 16 \cdot 4}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $4$ à partir de $- 16 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.4

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 4 + 4 (- 4 \cdot 4)$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{- {(4)}^{3} + 4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- {(4)}^{3}$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2}) + 4 (4)}$

Étape 1.2.4.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 4^{2}) + 4 (4)$ .

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Étape 1.2.4.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 \cdot (4 - 4 \cdot 4)}{4 (- 4^{2} + 4)}$

Étape 1.2.4.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun à $4 - 4 \cdot 4$ et $- 4^{2} + 4$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 4}{- 4^{2} + 4}$

Étape 1.2.4.2.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 \cdot 4$ .

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Étape 1.2.4.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (- 1 \cdot 4)$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{- 4^{2} + 4}$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4^{2}$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)}$

Étape 1.2.4.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 1 \cdot 4) + 4 (1)$ .

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Étape 1.2.4.2.4.4

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{4 (1 - 1 \cdot 4)}{4 (- 1 \cdot 4 + 1)}$

Étape 1.2.4.2.4.5

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{- 1 \cdot 4 + 1}$

Étape 1.2.4.3

Annulez le facteur commun à $1 - 1 \cdot 4$ et $- 1 \cdot 4 + 1$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 4}{1 - 1 \cdot 4}$

Étape 1.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 16 x$ et $g (x) = 4 x - x^{3}$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x] - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16 \cdot 1) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) \frac{d}{d x} [4 x - x^{3}]}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - (3 x^{2}))}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) - (x^{2} - 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 x - x^{3}) (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Développez $(4 x - x^{3}) (2 x - 16)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x - 16) - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x - 16) + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 16 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.4

Multipliez $- 16$ par $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 16 + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.8

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} - (- 16 x)) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} + (- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4

Développez $(- x^{2} + 16 x) (4 - 3 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} (4 - 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x (4 - 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.5.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.5.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 16 x \cdot 4 + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.5

Multipliez $4$ par $16$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 x (- 3 x^{2})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.5.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.5.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x + 16 \cdot - 3 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.8

Multipliez $16$ par $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $8 x^{2} - 64 x - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 64 x - 48 x^{3}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- 64 x$ et $64 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{8 x^{2} - 2 x^{4} + 16 x^{3} - 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $8 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x^{4} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 2 x^{4}$ et $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 16 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{3}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.5

Soustrayez $48 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(4 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 32 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + 4 x^{2}}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 32 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 32 x) + x^{2} \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(- x^{3} + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} + 4 x$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + 4 x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 4)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2}) + x \cdot 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 4))}^{2}}$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (- x^{2} + 2^{2}))}^{2}}$

Étape 2.3.5.3

Remettez dans l’ordre $- x^{2}$ et $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2^{2} - x^{2}))}^{2}}$

Étape 2.3.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Étape 2.3.5.5

Appliquez la règle de produit à $x (2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x (2 + x))}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(x \cdot 2 + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.7

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x \cdot x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.8

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{{(2 \cdot x + x^{2})}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.9

Réécrivez ${(2 x + x^{2})}^{2}$ comme $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.10

Développez $(2 x + x^{2}) (2 x + x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.5.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x + x^{2}) + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x + x^{2})) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 x (2 x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.5.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.5.11.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.11.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x \cdot x^{2} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.11.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.5.11.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 (x^{2} x^{1}) + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{2 + 1} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + x^{2} (2 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.11.1.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.3.5.11.1.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.11.1.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{2 + 2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.1.7.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.11.2

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.12

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2} + 4 x^{3} + x^{4}$ .

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Étape 2.3.5.12.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + 4 x^{3} + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.12.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{4}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.12.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.12.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot 4 + x^{2} (4 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{(x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.12.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot (4 + 4 x) + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (4 + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.13

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.5.13.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 4 x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.13.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot 2 \cdot x$

Étape 2.3.5.13.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} (2^{2} + 2 \cdot 2 \cdot x + x^{2}) {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.13.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = 2$ et $b = x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 32 x + 4)}{x^{2} {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 32 x + 4}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{{(4)}^{2} - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16 - 32 \cdot 4 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 32$ par $4$ .

$\frac{16 - 128 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5.2.3

Soustrayez $128$ de $16$ .

$\frac{- 112 + 4}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5.2.4

Additionnez $- 112$ et $4$ .

$\frac{- 108}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.3.1

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - (4))}^{2}}$

Étape 2.5.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

Étape 2.5.3.3

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\frac{- 108}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

Étape 2.5.3.4

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 108}{36 {(- 2)}^{2}}$

Étape 2.5.3.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 108}{36 \cdot 4}$

Étape 2.5.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $36$ par $4$ .

$\frac{- 108}{144}$

Étape 2.5.4.2

Annulez le facteur commun à $- 108$ et $144$ .

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Étape 2.5.4.2.1

Factorisez $36$ à partir de $- 108$ .

$\frac{36 (- 3)}{144}$

Étape 2.5.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.4.2.2.1

Factorisez $36$ à partir de $144$ .

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{36 \cdot - 3}{36 \cdot 4}$

Étape 2.5.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{4}$

Étape 2.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{4}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{4}$ et un point donné, tel que $(4, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{3}{4} \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{3}{4} \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{3}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{4}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot - 4$

Étape 3.3.1.2.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 (- 1))$

Étape 3.3.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{- 3}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} - 3 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.2.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = - \frac{3 x}{4} + 3$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{3 x}{4} + 3 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + 4$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{4} x) + 4$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{4} x + 4$

Étape 4