Calcul infinitésimal Exemples

${(y - 3)}^{2} = 4 (x - 5)$ , $(9, 7)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 9$ et $y = 7$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 5))$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez ${(y - 3)}^{2}$ comme $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 3) (y - 3)]$

Étape 1.2.2

Développez $(y - 3) (y - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Étape 1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Étape 1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 1.2.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Étape 1.2.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 6 y + 9]$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 6 y + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.6

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.7

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 y$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.2.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y y' - 6 y' + 0$

Étape 1.2.10

Additionnez $2 y y' - 6 y'$ et $0$ .

$2 y y' - 6 y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 (x - 5)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x - 5]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 5]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.3.4

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (1 + 0)$

Étape 1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \cdot 1$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - 6 y' = 4$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' - 6 y'$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = 4$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = 4$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = 4$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 3) = 4$ par $2 (y - 3)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 3) = 4$ par $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 3$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 3)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2}{y - 3}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 3}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 9$ sur $y = 7$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$\frac{2}{y - 3}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $7$ dans l’expression.

$\frac{2}{(7) - 3}$

Étape 1.7.3

Soustrayez $3$ de $7$ .

$\frac{2}{4}$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Étape 1.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{2}$ et un point donné, tel que $(9, 7)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{1}{2} \cdot (x - (9))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot (x - 9)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 7 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 9$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{- 9}{2}$

Étape 2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 7 = \frac{x}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{2} - \frac{9}{2} + 7$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{9}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{9}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 9 + 7 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 9 + 14}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 9$ et $14$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$

Étape 3