Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{- 3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ ; $(0, - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = - 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Étape 1.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}]$

Étape 1.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{3}}$ comme ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${({(3 x^{2} + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{- 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 3}$ et $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x^{2} + 1$ .

$- 3 (- 3 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$9 ({(3 x^{2} + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x + 0)$

Étape 1.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.7.1

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$9 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} (6 x)$

Étape 1.3.7.2

Multipliez $6$ par $9$ .

$54 {(3 x^{2} + 1)}^{- 4} x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$54 \frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Associez $54$ et $\frac{1}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}} x$

Étape 1.4.2.2

Associez $\frac{54}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$ et $x$ .

$\frac{54 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$\frac{54 (0)}{{(3 {(0)}^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $54$ par $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 1.6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{{(3 \cdot 0 + 1)}^{4}}$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 1)}^{4}}$

Étape 1.6.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{1^{4}}$

Étape 1.6.2.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1}$

Étape 1.6.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(0, - 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 3 = 0 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $0 \cdot (x + 0)$ .

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Étape 2.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y + 3 = 0 \cdot x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $0$ par $x$ .

$y + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 3$

Étape 3