Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 \sin (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $\frac{3}{4} \cdot π$ .

$y = - 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Étape 1.2.2

Simplifiez $- 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Étape 1.2.2.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $π$ .

$y = - 2 \sin (\frac{3 π}{4})$

Étape 1.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$y = - 2 \sin (\frac{π}{4})$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 \sqrt{2}$

Étape 1.2.2.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = \frac{3}{4} π$ et $y = - \sqrt{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 \cos (x)$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$- 2 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez $\frac{3}{4}$ et $π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{4})$

Étape 2.4.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 2.4.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (- \sqrt{2})$

Étape 2.4.5

Multipliez.

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Étape 2.4.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{2}$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\sqrt{2}$ et un point donné, tel que $(\frac{3}{4} \cdot π, - \sqrt{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + \sqrt{2} = 0 + 0 + \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x + \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{3 π}{4}$ .

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{\sqrt{2} (3 π)}{4}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$y + \sqrt{2} = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} - \sqrt{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $- \sqrt{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} - \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.3.3.2

Associez $- \sqrt{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 3 \sqrt{2} π - \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Étape 3.3.3.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 3 \sqrt{2} π - 4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 \sqrt{2} π$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π) - 4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 \sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π) - (4 \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 \sqrt{2} π) - (4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.3.8

Réécrivez $- (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})$ comme $- 1 (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})$ .

$y = \sqrt{2} x + \frac{- 1 (3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2})}{4}$

Étape 3.3.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \sqrt{2} x - \frac{3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Étape 4