Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 10 x^{2} + 9$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{2} + 9$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{4} - 10 {(1)}^{2} + 9$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{4} - 10 \cdot 1^{2} + 9$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1)}^{4} - 10 {(1)}^{2} + 9$

Étape 1.2.4

Simplifiez ${(1)}^{4} - 10 {(1)}^{2} + 9$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 - 10 {(1)}^{2} + 9$

Étape 1.2.4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1 - 10 \cdot 1 + 9$

Étape 1.2.4.1.3

Multipliez $- 10$ par $1$ .

$y = 1 - 10 + 9$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $10$ de $1$ .

$y = - 9 + 9$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $- 9$ et $9$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 10 x^{2} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 10 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$4 x^{3} - 20 x + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 20 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 20 x$ et $0$ .

$4 x^{3} - 20 x$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} - 20 \cdot 1$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 - 20 \cdot 1$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 20 \cdot 1$

Étape 2.5.1.3

Multipliez $- 20$ par $1$ .

$4 - 20$

Étape 2.5.2

Soustrayez $20$ de $4$ .

$- 16$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 16$ et un point donné, tel que $(1, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 16 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - 16 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = - 16 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez $- 16 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 16 x - 16 \cdot - 1$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 1$ .

$y = - 16 x + 16$

Étape 4