Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ , $(1, e)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = e$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x e^{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x e^{x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 e^{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x} + e^{x}) + 2 e^{x}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 (x e^{x}) - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Soustrayez $2 x e^{x}$ de $e^{x} (2 x)$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Déplacez $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1.5.2.1.2

Soustrayez $2 x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1.5.2.2

Additionnez $x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} + 2 e^{x}$

Étape 1.5.2.3

Additionnez $- 2 e^{x}$ et $2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0$

Étape 1.5.2.4

Additionnez $x^{2} e^{x}$ et $0$ .

$x^{2} e^{x}$

Étape 1.5.3

Réorganisez les facteurs de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2}$

Étape 1.5.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{2}$ .

$x^{2} e^{x}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

${(1)}^{2} e^{1}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 e^{1}$

Étape 1.7.2

Multipliez $e^{1}$ par $1$ .

$e^{1}$

Étape 1.7.3

Simplifiez

$e$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $e$ et un point donné, tel que $(1, e)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (e) = e \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - e = e \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $e \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - e = 0 + 0 + e \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - e = e x + e \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e$ .

$y - e = e x - 1 \cdot e$

Étape 2.3.1.3

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$y - e = e x - e$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $e$ aux deux côtés de l’équation.

$y = e x - e + e$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $e x - e + e$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- e$ et $e$ .

$y = e x + 0$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $e x$ et $0$ .

$y = e x$

Étape 3