Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(e^{2 x} - 4)}^{2}$ , $(0, 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 9$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{2 x} - 4$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{2 x} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{2 x} - 4$ .

$2 (e^{2 x} - 4) \frac{d}{d x} [e^{2 x} - 4]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 1.4.4

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x} + 0)$

Étape 1.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.5.1

Additionnez $2 e^{2 x}$ et $0$ .

$2 (e^{2 x} - 4) (2 e^{2 x})$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (e^{2 x} - 4) e^{2 x}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 e^{2 x} + 4 \cdot - 4) e^{2 x}$

Étape 1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 e^{2 x} e^{2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Étape 1.5.3

Associez des termes.

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $e^{2 x}$ par $e^{2 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.3.1.1

Déplacez $e^{2 x}$ .

$4 (e^{2 x} e^{2 x}) + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Étape 1.5.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 e^{2 x + 2 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Étape 1.5.3.1.3

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$4 e^{4 x} + 4 \cdot - 4 e^{2 x}$

Étape 1.5.3.2

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$4 e^{4 x} - 16 e^{2 x}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$4 e^{4 (0)} - 16 e^{2 (0)}$

Étape 1.7

Simplifiez

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$4 e^{0} - 16 e^{2 (0)}$

Étape 1.7.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1 - 16 e^{2 (0)}$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 - 16 e^{2 (0)}$

Étape 1.7.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$4 - 16 e^{0}$

Étape 1.7.1.5

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 - 16 \cdot 1$

Étape 1.7.1.6

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$4 - 16$

Étape 1.7.2

Soustrayez $16$ de $4$ .

$- 12$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 12$ et un point donné, tel que $(0, 9)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (9) = - 12 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 9 = - 12 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 9 = - 12 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 12 x + 9$

Étape 3