Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{8} = 9$ , $(3, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{8}) = \frac{d}{d x} (9)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{8}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{8}] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{8}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$x^{2} (8 u^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]) + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} y^{7} \frac{d}{d x} [y] + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + y^{8} (2 x)$

Étape 1.2.6

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.2.6.1

Déplacez $2$ à gauche de $y^{8}$ .

$8 x^{2} y^{7} y' + 2 \cdot y^{8} x$

Étape 1.2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x$

Étape 1.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$8 y^{7} x^{2} y' + 2 y^{8} x = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2 y^{8} x$ des deux côtés de l’équation.

$8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ par $8 y^{7} x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $8 y^{7} x^{2} y' = - 2 y^{8} x$ par $8 y^{7} x^{2}$ .

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 y^{7} x^{2} y'}{8 y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{7}$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{7} x^{2} y'}{y^{7} x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y'}{x^{2}} = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{8} x}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{8} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{8 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{8} x)}{2 (4 y^{7} x^{2})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{8} x}{4 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{8}$ et $y^{7}$ .

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Étape 1.5.2.3.2.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $- y^{8} x$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{4 y^{7} x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.2.2.1

Factorisez $y^{7}$ à partir de $4 y^{7} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Étape 1.5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{7} (- y x)}{y^{7} (4 x^{2})}$

Étape 1.5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{4 x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{4 x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Étape 1.5.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y)}{x (4 x)}$

Étape 1.5.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{4 x}$

Étape 1.5.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{4 x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{4 x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 3$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$- \frac{y}{4 (3)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{1}{4 (3)}$

Étape 1.7.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$- \frac{1}{12}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{12}$ et un point donné, tel que $(3, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{12} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{12} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{12}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} - \frac{1}{12} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{12}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{12} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 (4)} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{3 \cdot 4} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{- 1}{4}$ et $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{- - 1}{4}$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{12} + \frac{1 + 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = - \frac{x}{12} + \frac{5}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{12} x) + \frac{5}{4}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{12} x + \frac{5}{4}$

Étape 3