Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x^{2} - 9 x}{3 x - x^{3}}$ at $x = 3$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = \frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{3^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - 3^{3}}$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{3 (3) - {(3)}^{3}}$ .

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Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun à ${(3)}^{2} - 9 \cdot 3$ et $3 (3) - {(3)}^{3}$ .

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Étape 1.2.4.1.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{{(3)}^{2} - 9 \cdot 3}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{2}$ .

$y = \frac{3 \cdot 3 - 9 \cdot 3}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 9 \cdot 3$ .

$y = \frac{3 \cdot 3 + 3 (- 3 \cdot 3)}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3 + 3 (- 3 \cdot 3)$ .

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{- {(3)}^{3} + 3 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- {(3)}^{3}$ .

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2}) + 3 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot 3$ .

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2}) + 3 (3)}$

Étape 1.2.4.1.5.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 3^{2}) + 3 (3)$ .

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2} + 3)}$

Étape 1.2.4.1.5.4

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 \cdot (3 - 3 \cdot 3)}{3 (- 3^{2} + 3)}$

Étape 1.2.4.1.5.5

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 - 3 \cdot 3}{- 3^{2} + 3}$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun à $3 - 3 \cdot 3$ et $- 3^{2} + 3$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot 3}{- 3^{2} + 3}$

Étape 1.2.4.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3 \cdot 3$ .

$y = \frac{3 \cdot 1 + 3 (- 1 \cdot 3)}{- 3^{2} + 3}$

Étape 1.2.4.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (1) + 3 (- 1 \cdot 3)$ .

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{- 3^{2} + 3}$

Étape 1.2.4.2.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.4.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3^{2}$ .

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3) + 3}$

Étape 1.2.4.2.4.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3) + 3 (1)}$

Étape 1.2.4.2.4.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 1 \cdot 3) + 3 (1)$ .

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3 + 1)}$

Étape 1.2.4.2.4.4

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{3 (1 - 1 \cdot 3)}{3 (- 1 \cdot 3 + 1)}$

Étape 1.2.4.2.4.5

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3}{- 1 \cdot 3 + 1}$

Étape 1.2.4.3

Annulez le facteur commun à $1 - 1 \cdot 3$ et $- 1 \cdot 3 + 1$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3}{1 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{1 - 1 \cdot 3}{1 - 1 \cdot 3}$

Étape 1.2.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} - 9 x$ et $g (x) = 3 x - x^{3}$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9 x] - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9 x]) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9 \cdot 1) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) \frac{d}{d x} [3 x - x^{3}]}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 - \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 - (3 x^{2}))}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.2.12

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) - (x^{2} - 9 x) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x - x^{3}) (2 x - 9) + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Développez $(3 x - x^{3}) (2 x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 x - 9) - x^{3} (2 x - 9) + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x - 9) + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x (2 x) + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 x \cdot - 9 - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.4

Multipliez $- 9$ par $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - x^{3} (2 x) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 x^{3} x - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.6.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 2.3.2.1.2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.6.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 1 \cdot 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} - x^{3} \cdot - 9 + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2.8

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} + (- x^{2} - (- 9 x)) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} + (- x^{2} + 9 x) (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4

Développez $(- x^{2} + 9 x) (3 - 3 x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - x^{2} (3 - 3 x^{2}) + 9 x (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - x^{2} \cdot 3 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 9 x (3 - 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - x^{2} \cdot 3 - x^{2} (- 3 x^{2}) + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.5.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2} x^{2} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.5.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 (x^{2} x^{2}) + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{2 + 2} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} - 1 \cdot - 3 x^{4} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 9 x \cdot 3 + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.5

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 x (- 3 x^{2})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 x \cdot x^{2}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.5.7.1

Déplacez $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 (x^{2} x)}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.2.1.5.7.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 (x^{2} x^{1})}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 x^{2 + 1}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.7.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x + 9 \cdot - 3 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.5.8

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$\frac{6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.2

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} - 27 x - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 27 x - 27 x^{3}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Additionnez $- 27 x$ et $27 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} + 0 - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Additionnez $6 x^{2} - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4}$ et $0$ .

$\frac{6 x^{2} - 2 x^{4} + 9 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{4} - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.3

Soustrayez $3 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 9 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x^{4} - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $- 2 x^{4}$ et $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} + 9 x^{3} + 3 x^{2} - 27 x^{3}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.2.5

Soustrayez $27 x^{3}$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2}}{{(3 x - x^{3})}^{2}}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2}}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - 18 x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 18 x^{3} + 3 x^{2}}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 18 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 18 x) + 3 x^{2}}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} (- 18 x) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 18 x)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.4.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} - 18 x) + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(- x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.5.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} + 3 x$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(x (- x^{2}) + 3 x)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(x (- x^{2}) + x \cdot 3)}^{2}}$

Étape 2.3.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- x^{2}) + x \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{{(x (- x^{2} + 3))}^{2}}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez la règle de produit à $x (- x^{2} + 3)$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{x^{2} {(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.3.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 18 x + 3)}{x^{2} {(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - 18 x + 3}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$\frac{{(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 3}{{(- {(3)}^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 18 \cdot 3 + 3}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 18$ par $3$ .

$\frac{9 - 54 + 3}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $54$ de $9$ .

$\frac{- 45 + 3}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5.1.4

Additionnez $- 45$ et $3$ .

$\frac{- 42}{{(- 3^{2} + 3)}^{2}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 42}{{(- 1 \cdot 9 + 3)}^{2}}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{- 42}{{(- 9 + 3)}^{2}}$

Étape 2.5.2.3

Additionnez $- 9$ et $3$ .

$\frac{- 42}{{(- 6)}^{2}}$

Étape 2.5.2.4

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 42}{36}$

Étape 2.5.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun à $- 42$ et $36$ .

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Étape 2.5.3.1.1

Factorisez $6$ à partir de $- 42$ .

$\frac{6 (- 7)}{36}$

Étape 2.5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.3.1.2.1

Factorisez $6$ à partir de $36$ .

$\frac{6 \cdot - 7}{6 \cdot 6}$

Étape 2.5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot - 7}{6 \cdot 6}$

Étape 2.5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7}{6}$

Étape 2.5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{6}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{7}{6}$ et un point donné, tel que $(3, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{7}{6} \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{7}{6} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{7}{6} \cdot (x - 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{7}{6} \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{7}{6} x - \frac{7}{6} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{7}{6}$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} - \frac{7}{6} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{6}$ dans le numérateur.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{6} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.2.3.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{3 (2)} \cdot - 3$

Étape 3.3.1.2.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 3.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7}{2} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.2.4

Associez $\frac{- 7}{2}$ et $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{- 7 \cdot - 1}{2}$

Étape 3.3.1.2.5

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x \cdot 7}{6} + \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = - \frac{7 x}{6} + \frac{7}{2}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{7}{2} + 1$

Étape 3.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{7}{2} + \frac{2}{2}$

Étape 3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{7 + 2}{2}$

Étape 3.3.2.4

Additionnez $7$ et $2$ .

$y = - \frac{7 x}{6} + \frac{9}{2}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{7}{6} x) + \frac{9}{2}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{7}{6} x + \frac{9}{2}$

Étape 4