Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (x)$ ;

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 1

Déterminez la valeur

$y$ correspondant à

$x = - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.1

Remplacez

$x$ dans par

$- \frac{π}{2}$ .

$y = \cot (- \frac{π}{2})$

Étape 1.2

Résolvez

$y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \cot (- \frac{π}{2})$

Étape 1.2.2

Simplifiez

$\cot (- \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.2.1

Ajoutez des rotations complètes de

$2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à

$0$ et inférieur à

$2 π$ .

$y = \cot (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$y = - \cot (\frac{π}{2})$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de

$\cot (\frac{π}{2})$ est

$0$ .

$y = - 0$

Étape 1.2.2.4

Multipliez

$- 1$ par

$0$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur

$x = - \frac{π}{2}$ et

$y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

La dérivée de

$\cot (x)$ par rapport à

$x$ est

$- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Étape 2.2

Évaluez la dérivée sur

$x = - \frac{π}{2}$ .

$- \csc^{2} (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Ajoutez des rotations complètes de

$2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à

$0$ et inférieur à

$2 π$ .

$- \csc^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$- {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{2}$

Étape 2.3.3

La valeur exacte de

$\csc (\frac{π}{2})$ est

$1$ .

$- {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 2.3.4

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$- {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.5

Multipliez

$- 1$ par

${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez

$- 1$ par

${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez

$- 1$ à la puissance

$1$ .

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{1 + 2}$

Étape 2.3.5.2

Additionnez

$1$ et

$2$ .

${(- 1)}^{3}$

Étape 2.3.6

Élevez

$- 1$ à la puissance

$3$ .

$- 1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez

$y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente

$- 1$ et un point donné, tel que

$(- \frac{π}{2}, 0)$ , pour remplacer

$x_{1}$ et

$y_{1}$ dans la forme point-pente

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (- \frac{π}{2}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$

Étape 3.3

Résolvez

$y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez

$y$ et

$0$ .

$y = - 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$

Étape 3.3.2

Simplifiez

$- 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 3.3.2.2.1

Réécrivez

$- 1 x$ comme

$- x$ .

$y = - x - 1 \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.2.2

Réécrivez

$- 1 \frac{π}{2}$ comme

$- \frac{π}{2}$ .

$y = - x - \frac{π}{2}$

Étape 4