Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (x)$ ; $x = - \frac{π}{2}$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- \frac{π}{2}$ .

$y = \cot (- \frac{π}{2})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \cot (- \frac{π}{2})$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\cot (- \frac{π}{2})$ .

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Étape 1.2.2.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$y = \cot (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.2.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cotangente est négative dans le quatrième quadrant.

$y = - \cot (\frac{π}{2})$

Étape 1.2.2.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$y = - 0$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - \frac{π}{2}$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Étape 2.2

Évaluez la dérivée sur $x = - \frac{π}{2}$ .

$- \csc^{2} (- \frac{π}{2})$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \csc^{2} (\frac{3 π}{2})$

Étape 2.3.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la cosécante est négative dans le quatrième quadrant.

$- {(- \csc (\frac{π}{2}))}^{2}$

Étape 2.3.3

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

${(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(- 1)}^{1 + 2}$

Étape 2.3.5.2

Additionnez $1$ et $2$ .

${(- 1)}^{3}$

Étape 2.3.6

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(- \frac{π}{2}, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (- \frac{π}{2}))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = - 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$

Étape 3.3.2

Simplifiez $- 1 \cdot (x + \frac{π}{2})$ .

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 1 x - 1 \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.2

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 3.3.2.2.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - x - 1 \frac{π}{2}$

Étape 3.3.2.2.2

Réécrivez $- 1 \frac{π}{2}$ comme $- \frac{π}{2}$ .

$y = - x - \frac{π}{2}$

Étape 4