Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{1}{x}$ at $(1, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3

Multipliez.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Étape 1.2.5.2

Additionnez $x^{- 2}$ et $0$ .

$x^{- 2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{1}$

Étape 1.5.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(1, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y + 1 = x - 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = x - 1 - 1$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$y = x - 2$

Étape 3