Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ at the point $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$- 3 x^{- 4}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- \frac{3}{{(1)}^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{3}{1}$

Étape 1.5.2

Divisez $3$ par $1$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 1.5.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 3$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 3 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 3 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 3 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 3 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 3 x - 3 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y - 1 = - 3 x + 3$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 3 x + 3 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$y = - 3 x + 4$

Étape 3